С 17 решение неравенств методом интервалов. Дробно-рациональные неравенства

Как решать неравенства методом интервалов (алгоритм с примерами)

Пример . (задание из ОГЭ) Решите неравенство методом интервалов \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Решение:

Ответ : \((7;7+\sqrt{11})\)

Пример . Решите неравенство методом интервалов \(≥0\)
Решение:

\(\frac{(4-x)^3 (x+6)(6-x)^4}{(x+7,5)}\) \(≥0\)		Здесь на первый взгляд все кажется нормальным, а неравенство изначально приведенным к нужному виду. Но это не так – ведь в первой и третьей скобке числителя икс стоит со знаком минус. Преобразовываем скобки, с учетом того, что четвертая степень - четная (т.е. уберет знак минус), а третья – нечетная (т.е. не уберет). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) Вот так. Теперь возвращаем скобки «на место» уже преобразованными.
\(\frac{-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4}{(x+7,5)}\) \(≥0\)		Теперь все скобки выглядят как надо (первым идет иск без знака и только потом число). Но перед числителем появился минус. Убираем его, умножая неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения
\(\frac{(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4}{(x+7,5)}\) \(≤0\)		Готово. Вот теперь неравенство выглядит как надо. Можно применять метод интервалов.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Расставим точки на оси, знаки и закрасим нужные промежутки.
		В промежутке от \(4\) до \(6\), знак не надо менять, потому что скобка \((x-6)\) в четной степени (см. пункт 4 алгоритма). Флажок будет напоминанием о том, что шестерка - тоже решение неравенства. Запишем ответ.

Ответ : \((-∞;7,5]∪[-6;4]∪\left\{6\right\}\)

Пример. (Задание из ОГЭ) Решите неравенство методом интервалов \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Решение:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Слева и справа есть одинаковые – это явно не случайно. Первое желание – поделить на \(-x^2-64\), но это ошибка, т.к. есть шанс потерять корень. Вместо этого перенесем \(64(-x^2-64)\) в левую сторону
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Вынесем минус в первой скобки и разложим на множители вторую
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Обратите внимание: \(x^2\) либо равно нулю, либо больше нуля. Значит, \(x^2+64\) – однозначно положительно при любом значении икса, то есть это выражение никак не влияет на знак левой части. Поэтому можно смело делить обе части неравенства на это выражение. Поделим неравенство так же на \(-1\) , чтобы избавиться от минуса.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Теперь можно применять метод интервалов
\(x=8;\) \(x=-8\)		Запишем ответ

Ответ : \((-∞;-8]∪}