Однородные уравнения первой и второй степени. Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
Сегодня мы займемся однородными тригонометрическими уравнениями. Для начала разберемся с терминологией: что такое однородное тригонометрическое уравнение. Оно имеет следующие характеристики:
- в нем должно быть несколько слагаемых;
- все слагаемые должны иметь одинаковую степень;
- все функции, входящие в однородное тригонометрическое тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент.
Алгоритм решения
Выделим слагаемые
И если с первым пунктом все понятно, то о втором стоить поговорить поподробней. Что значит одинаковая степень слагаемых? Давайте рассмотрим первую задачу:
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Первое слагаемое в этом уравнении —3cosx 3\cos x. Обратите внимание, здесь есть только одна тригонометрическая функция — cosx \cos x — и больше никаких других тригонометрических функций здесь не присутствует, поэтому степень этого слагаемого равна 1. То же самое со вторым — 5sinx 5\sin x — здесь присутствует только синус, т. е. степень этого слагаемого тоже равна единице. Итак, перед нами тождество, состоящее из двух элементов, каждое из которых содержит тригонометрическую функцию, и при этом только одну. Это уравнение первой степени.
Переходим ко второму выражению:
4sin 2 x+sin2x−3=0
4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0
Первый член этой конструкции — 4sin 2 x 4{{\sin }^{2}}x.
Теперь мы можем записать следующее решение:
sin 2 x=sinx⋅sinx
{{\sin }^{2}}x=\sin x\cdot \sin x
Другими словами, первое слагаемое содержит две тригонометрические функции, т. е. его степень равна двум. Разберемся со вторым элементом — sin2x \sin 2x. Вспомним такую формулу — формулу двойного угла:
sin2x=2sinx⋅cosx
\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x
И опять, в полученной формуле у нас есть две тригонометрические функции — синус и косинус. Таким образом, степенное значение этого члена конструкции тоже равно двум.
Переходим к третьему элементу — 3. Из курса математики средней школы мы помним, что любое число можно умножать на 1, так и запишем:
˜ 3=3⋅1
А единицу с помощью основного тригонометрического тождества можно записать в следующем виде:
1=sin 2 x⋅cos 2 x
1={{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x
Следовательно, мы можем переписать 3 в следующем виде:
3=3(sin 2 x⋅cos 2 x) =3sin 2 x+3cos 2 x
3=3\left({{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x \right)=3{{\sin }^{2}}x+3{{\cos }^{2}}x
Таким образом, наше слагаемое 3 разбилось на два элемента, каждый из которых является однородным и имеет вторую степень. Синус в первом члене встречается дважды, косинус во втором — тоже дважды. Таким образом, 3 тоже может быть представлено в виде слагаемого со степенным показателем два.
С третьим выражением то же самое:
sin 3 x+sin 2 xcosx=2cos 3 x
Давайте посмотрим. Первое слагаемое — sin 3 x {{\sin }^{3}}x — это тригонометрическая функция третьей степени. Второй элемент — sin 2 xcosx {{\sin }^{2}}x\cos x.
sin 2 {{\sin }^{2}} — это звено со степенным значением два, умноженное на cosx \cos x — слагаемое первой. Итого, третий член тоже имеет степенное значение три. Наконец, справа стоит еще одно звено — 2cos 3 x 2{{\cos }^{3}}x — это элемент третьей степени. Таким образом, перед нами однородное тригонометрическое уравнение третьей степени.
У нас записано три тождества разных степеней. Обратите внимание еще раз на второе выражение. В исходной записи у одного из членов присутствует аргумент 2x 2x. Мы вынуждены избавиться от этого аргумента, преобразовав его по формуле синуса двойного угла, потому что все функции, входящие в наше тождество, должны обязательно иметь одинаковый аргумент. И это требование для однородных тригонометрических уравнений.
Используем формулу основного тригонометрического тождества и записываем окончательное решение
С терминами мы разобрались, переходим к решению. Независимо от степенного показателя, решение равенств такого типа всегда выполняется в два шага:
1) доказать, что
cosx≠0
\cos x\ne 0. Для этого достаточно вспомнить формулу основного тригонометрического тождества (sin 2 x⋅cos 2 x=1) \left({{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x=1 \right) и подставить в эту формулу cosx=0 \cos x=0. Мы получим следующее выражение:
sin 2 x=1 sinx=±1
\begin{align}& {{\sin }^{2}}x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\end{align}
Подставляя полученные значения, т. е. вместо cosx \cos x — ноль, а вместо sinx \sin x — 1 или -1, в исходное выражение, мы получим неверное числовое равенство. Это и является обоснованием того, что
cosx≠0
2) второй шаг логичным образом вытекает из первого. Поскольку
cosx≠0
\cos x\ne 0, делим обе наши стороны конструкции на cos n x {{\cos }^{n}}x, где n n — то само степенной показатель однородного тригонометрического уравнения. Что это нам дает:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
sinx cosx =tgx cosx cosx =1
\begin{align}& \frac{\sin x}{\cos x}=tgx \\& \frac{\cos x}{\cos x}=1 \\\end{align} \\{} \\\end{array}\]
Благодаря этому наша громоздкая исходная конструкция сводится к уравнению n n-степени относительно тангенса, решение которой легко записать с помощью замены переменной. Вот и весь алгоритм. Давайте посмотрим, как он работает на практике.
Решаем реальные задачи
Задача №1
3cosx+5sinx=0
3\cos x+5\sin x=0
Мы уже выяснили, что это однородное тригонометрическое уравнение со степенным показателем, равным единице. Поэтому в первую очередь выясним, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Предположим противное, что
cosx=0→sinx=±1
\cos x=0\to \sin x=\pm 1.
Подставляем полученное значение в наше выражение, получаем:
3⋅0+5⋅(±1) =0 ±5=0
\begin{align}& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\end{align}
На основании этого можно сказать, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Разделим наше уравнение на cosx \cos x, потому что все наше выражение имеет степенное значение, равное единице. Получим:
3(cosx cosx ) +5(sinx cosx ) =0 3+5tgx=0 tgx=−3 5
\begin{align}& 3\left(\frac{\cos x}{\cos x} \right)+5\left(\frac{\sin x}{\cos x} \right)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac{3}{5} \\\end{align}
Это не табличное значение, поэтому в ответе будет фигурироватьarctgx arctgx:
x=arctg(−3 5 ) + π n,n∈Z
x=arctg\left(-\frac{3}{5} \right)+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z
Поскольку arctg arctg arctg— функция нечетная, «минус» мы можем вынести из аргумента и поставить его перед arctg. Получим окончательный ответ:
x=−arctg3 5 + π n,n∈Z
x=-arctg\frac{3}{5}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z
Задача №2
4sin 2 x+sin2x−3=0
4{{\sin }^{2}}x+\sin 2x-3=0
Как вы помните, прежде чем приступить к его решению, нужно выполнить некоторые преобразования. Выполняем преобразования:
4sin 2 x+2sinxcosx−3(sin 2 x+cos 2 x) =0 4sin 2 x+2sinxcosx−3sin 2 x−3cos 2 x=0 sin 2 x+2sinxcosx−3cos 2 x=0
\begin{align}& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3\left({{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x \right)=0 \\& 4{{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\sin }^{2}}x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\& {{\sin }^{2}}x+2\sin x\cos x-3{{\cos }^{2}}x=0 \\\end{align}
Мы получили конструкцию, состоящую из трех элементов. В первом члене мы видим sin 2 {{\sin }^{2}}, т. е. его степенное значение равно двум. Во втором слагаемом мы видим sinx \sin x и cosx \cos x — опять же функции две, они перемножаются, поэтому общая степень снова два. В третьем звене мы видим cos 2 x {{\cos }^{2}}x — аналогично первому значению.
Докажем, что cosx=0 \cos x=0 не является решением данной конструкции. Для этого предположим противное:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \\1=0 \\\end{array}\]
Мы доказали, что cosx=0 \cos x=0 не может быть решением. Переходим ко второму шагу — делим все наше выражение на cos 2 x {{\cos }^{2}}x. Почему в квадрате? Потому что степенной показатель этого однородного уравнения равен двум:
sin 2 x cos 2 x +2sinxcosx cos 2 x −3=0 tg 2 x+2tgx−3=0
\begin{align}& \frac{{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+2\frac{\sin x\cos x}{{{\cos }^{2}}x}-3=0 \\& t{{g}^{2}}x+2tgx-3=0 \\\end{align}
Можно ли решать данное выражение с помощью дискриминанта? Конечно можно. Но я предлагаю вспомнить теорему, обратную теореме Виета, и мы получим, что данный многочлен представим в виде двух простых многочленов, а именно:
(tgx+3) (tgx−1) =0 tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Z tgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z
\begin{align}& \left(tgx+3 \right)\left(tgx-1 \right)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{align}
Многие ученики спрашивают, стоит ли для каждой группы решений тождеств писать отдельные коэффициенты или не заморачиваться и везде писать один и тот же. Лично я считаю, что лучше и надежнее использовать разные буквы, чтобы в случае, когда вы будете поступать в серьезный технический вуз с дополнительными испытаниями по математике, проверяющие не придрались к ответу.
Задача №3
sin 3 x+sin 2 xcosx=2cos 3 x
{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x=2{{\cos }^{3}}x
Мы уже знаем, что это однородное тригонометрическое уравнение третьей степени, никакие специальные формулы не нужны, и все, что от нас требуется, это перенести слагаемое 2cos 3 x 2{{\cos }^{3}}x влево. Переписываем:
sin 3 x+sin 2 xcosx−2cos 3 x=0
{{\sin }^{3}}x+{{\sin }^{2}}x\cos x-2{{\cos }^{3}}x=0
Мы видим, что каждый элемент содержит в себе три тригонометрические функции, поэтому это уравнение имеет степенное значение, равное трем. Решаем его. В первую очередь, нам нужно доказать, чтоcosx=0 \cos x=0 не является корнем:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\end{array}\]
Подставим эти числа в нашу исходную конструкцию:
(±1) 3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0 ±1=0
\begin{align}& {{\left(\pm 1 \right)}^{3}}+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\end{align}
Следовательно, cosx=0 \cos x=0 не является решением. Мы доказали, что cosx≠0 \cos x\ne 0. Теперь, когда мы это доказали, разделим наше исходное уравнение на cos 3 x {{\cos }^{3}}x. Почему именно в кубе? Потому что мы только что доказали, что наше исходное уравнение имеет третью степень:
sin 3 x cos 3 x +sin 2 xcosx cos 3 x −2=0 tg 3 x+tg 2 x−2=0
\begin{align}& \frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{3}}x}+\frac{{{\sin }^{2}}x\cos x}{{{\cos }^{3}}x}-2=0 \\& t{{g}^{3}}x+t{{g}^{2}}x-2=0 \\\end{align}
Введем новую переменную:
tgx=t
Переписываем конструкцию:
t 3 +t 2 −2=0
{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=0
Перед нами кубическое уравнение. Как его решать? Изначально, когда я только составлял данный видеоурок, то планировал предварительно рассказать о разложении многочленов на множители и прочих приемов. Но в данном случае все намного проще. Взгляните, наше тождество приведенное, при слагаемом с наибольшей степенью стоит 1. Кроме того, все коэффициенты целые. А это значит, что мы можем воспользоваться следствием из теоремы Безу, которое гласит, что все корни являются делителями числа -2, т. е. свободного члена.
Возникает вопрос: на что делится -2. Поскольку 2 — число простое, то вариантов не так уж много. Это могут быть следующие числа: 1; 2; -1; -2. Отрицательные корни сразу отпадают. Почему? Потому что оба они по модулю больше 0, следовательно, t 3 {{t}^{3}} будет больше по модулю, чем t 2 {{t}^{2}}. А так как куб — функция нечетная, поэтому число в кубе будет отрицательным, а t 2 {{t}^{2}} — положительным, и вся эта конструкция, при t=−1 t=-1 и t=−2 t=-2, будет не больше 0. Вычитаем из него -2 и получаем число, которое заведомо меньше 0. Остаются лишь 1 и 2. Давайте подставим каждое из этих чисел:
˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0
˜t=1\to \text{ }1+1-2=0\to 0=0
Мы получили верное числовое равенство. Следовательно, t=1 t=1 является корнем.
t=2→8+4−2=0→10≠0
t=2\to 8+4-2=0\to 10\ne 0
t=2 t=2 не является корнем.
Согласно следствию и все той же теореме Безу, любой многочлен, чьим корнем является x 0 {{x}_{0}}, представим в виде:
Q(x)=(x=x 0 )P(x)
Q(x)=(x={{x}_{0}})P(x)
В нашем случае в роли x x выступает переменная t t, а в роли x 0 {{x}_{0}} — корень, равный 1. Получим:
t 3 +t 2 −2=(t−1)⋅P(t)
{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2=(t-1)\cdot P(t)
Как найти многочлен P(t) P\left(t \right)? Очевидно, нужно сделать следующее:
P(t)=t 3 +t 2 −2 t−1
P(t)=\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}-2}{t-1}
Подставляем:
t 3 +t 2 +0⋅t−2 t−1 =t 2 +2t+2
\frac{{{t}^{3}}+{{t}^{2}}+0\cdot t-2}{t-1}={{t}^{2}}+2t+2
Итак, наш исходный многочлен разделился без остатка. Таким образом, мы можем переписать наше исходное равенство в виде:
(t−1)(t 2 +2t+2)=0
(t-1)({{t}^{2}}+2t+2)=0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Первый множитель мы уже рассмотрели. Давайте рассмотрим второй:
t 2 +2t+2=0
{{t}^{2}}+2t+2=0
Опытные ученики, наверное, уже поняли, что данная конструкция не имеет корней, но давайте все-таки посчитаем дискриминант.
D=4−4⋅2=4−8=−4
D=4-4\cdot 2=4-8=-4
Дискриминант меньше 0, следовательно, выражение не имеет корней. Итого, огромная конструкция свелась к обычному равенству:
\[\begin{array}{·{35}{l}}
t=\text{ }1 \\tgx=\text{ }1 \\x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }k,k\in Z \\\end{array}\]
В заключение хотелось бы добавить пару замечаний по последней задаче:
- всегда ли будет выполняться условие cosx≠0 \cos x\ne 0,и стоит ли вообще проводить эту проверку. Разумеется, не всегда. В тех случаях, когда cosx=0 \cos x=0 является решением нашего равенства, следует вынести его за скобки, и тогда в скобках останется полноценное однородное уравнение.
- что такое деление многочлена на многочлен. Действительно, в большинстве школ этого не изучают, и когда ученики впервые видят такую конструкцию, то испытывают легкий шок. Но, на самом деле, это простой и красивый прием, который существенно облегчает решение уравнений высших степеней. Разумеется, ему будет посвящен отдельный видеоурок, который я опубликую в ближайшее время.
Ключевые моменты
Однородные тригонометрические уравнения — любимая тема на всевозможных контрольных работах. Решаются они очень просто — достаточно один раз потренироваться. Чтобы было понятно, о чем речь, введем новое определение.
Однородное тригонометрическое уравнение — это такое, в котором каждое ненулевое слагаемое которого состоит из одинакового количества тригонометрических множителей. Это могут быть синусы, косинусы или их комбинации — метод решения всегда один и тот же.
Степень однородного тригонометрического уравнения — это количество тригонометрических множителей, входящих в ненулевые слагаемые.Примеры:
sinx+15 cos x=0
\sin x+15\text{ cos }x=0 — тождество 1-й степени;
2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0
2\text{ sin}2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 — 2-й степени;
sin3x+2sinxcos2x=0
\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 — 3-ей степени;
sinx+cosx=1
\sin x+\cos x=1 — а это уравнение не является однородным, поскольку справа стоит единица — ненулевое слагаемое, в котором отсутствуют тригонометрические множители;
sin2x+2sinx−3=0
\sin 2x+2\sin x-3=0 — тоже неоднородное уравнение. Элемент sin2x \sin 2x — второй степени (т.к. можно представить
sin2x=2sinxcosx
\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x — первой, а слагаемое 3 — вообще нулевой, поскольку ни синусов, ни косинусов в нем нет.
Общая схема решения
Схема решения всегда одна и та же:
Предположим, что cosx=0 \cos x=0. Тогда sinx=±1 \sin x=\pm 1 — это следует из основного тождества. Подставляем sinx \sin x и cosx \cos x в исходное выражение, и если получается бред (например, выражение 5=0 5=0), переходим ко второму пункту;
Делим все на степень косинуса: cosx,cos2x,cos3x... — зависит от степенного значения уравнения. Получим обычное равенство с тангенсами, которое благополучно решается после замены tgx=t.
tgx=tНайденные корни будут ответом к исходному выражению.
С помощью этого видеоурока учащиеся смогут изучить тему однородных тригонометрических уравнений.
Дадим определения:
1) однородное тригонометрическое уравнение первой степени выглядит как a sin x + b cos x = 0;
2) однородное тригонометрическое уравнение второй степени выглядит как a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0.
Рассмотрим уравнение a sin x + b cos x = 0. Если а будет равно нулю, то уравнение будет выглядеть как b cos x = 0; если b равно нулю, то уравнение будет выглядеть как a sin x = 0. Это уравнения, которые мы называли простейшими и решали ранее в предыдущих темах.
Сейчас рассмотрим вариант, когда a и b не равны нулю. С помощью деления частей уравнения на косинус x и осуществим преобразование. Получим a tg x + b = 0, тогда tg x будет равен - b/а.
Из вышеизложенного следует вывод, что уравнение a sin mx + b cos mx = 0 является однородным тригонометрическим уравнением I степени. Чтобы решить уравнение, его части делят на cos mx.
Разберем пример 1. Решить 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0. Сначала части уравнения делим на косинус(x/2). Зная, что синус, деленный на косинус, это тангенс, получим 7 tg (x/2) - 5 = 0. Преобразовывая выражение, найдем, что значение тангенса (x/2)равно 5/7. Решение данного уравнения имеет вид х = arctg a + πn, в нашем случае х = 2 arctg (5/7) + 2πn.
Рассмотрим уравнение a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0:
1) при а равном нулю уравнение будет выглядеть как b sin x cos x + c cos 2 x = 0. Преобразуя, получим выражение cos x (b sin x + c cos x) = 0 и перейдем к решению двух уравнений. После деления частей уравнения на косинус x, получим b tg x + c = 0, а значит tg x = - c/b. Зная, что х = arctg a + πn, то решением в данном случае будет х = arctg (- с/b) + πn.
2) если а не равно нулю, то, путем деления частей уравнения на косинус в квадрате, получим уравнение, содержащее тангенс, которое будет квадратным. Это уравнение можно решить путем ввода новой переменной.
3) при с равном нулю уравнение примет вид a sin 2 x + b sin x cos x = 0. Это уравнение можно решить, если вынести синус x за скобку.
1. посмотреть, есть ли в уравнении a sin 2 x;
2. если в уравнении член a sin 2 x содержится, то решить уравнение можно путем деления обеих частей на косинус в квадрате и последующим введением новой переменной.
3. если в уравнении a sin 2 x не содержится, то решить уравнение можно с помощью выноса за скобки cosx.
Рассмотрим пример 2. Вынесем за скобки косинус и получим два уравнения. Корень первого уравнения x = π/2 + πn. Для решения второго уравнения разделим части этого уравнения на косинус x, путем преобразований получим х = π/3 + πn. Ответ: x = π/2 + πn и х = π/3 + πn.
Решим пример 3, уравнение вида 3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 и найдем его корни, которые принадлежат отрезку от - π до π. Т.к. это уравнение неоднородное, необходимо привести его к однородному виду. Используя формулу sin 2 x + cos 2 x = 1, получим уравнение sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0. Разделив все части уравнения на cos 2 x, получим tg 2 2x + 2tg 2x + 1 = 0. Используя ввод новой переменной z = tg 2x, решим уравнение, корнем которого будет z = 1. Тогда tg 2x = 1, откуда следует, что x = π/8 + (πn)/2. Т.к. по условию задачи нужно найти корни, которые принадлежат отрезку от - π до π, решение будет иметь вид - π< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Однородные тригонометрические уравнения
Сегодня мы разберем, как решаются «Однородные тригонометрические уравнения». Это уравнения специального вида.
Познакомимся с определением.
Уравнение вида а sin x+ b cos x = 0 (а синус икс плюс бэ косинус икс равно нулю) называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени;
уравнение вида а sin 2 x+ b sin x cos x +с cos 2 x = 0 (а синус квадрат икс плюс бэ синус икс косинус икс плюс сэ косинус квадрат икс равно нулю) называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
Если а=0 , то уравнение примет вид b cos x = 0.
Еслиb = 0 , то получим а sin x= 0.
Данные уравнения являются элементарными тригонометрическими, и их решение мы рассматривали на прошлых наших темах
Рассмотрим тот случай, когда оба коэффициента не равны нулю. Разделим обе части уравнения а sin x + b cos x = 0 почленно на cos x .
Это мы можем сделать, так как косинус икс отличен от нуля. Ведь, если cos x = 0 , то уравнение а sin x + b cos x = 0 примет вид а sin x = 0 , а ≠ 0, следовательно sin x = 0 . Что невозможно, ведь по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x+ cos 2 x =1 .
Разделив обе части уравнения а sin x + b cos x = 0 почленно на cos x , получим: + =0
Осуществим преобразования:
1. Так как = tg x, то = а tg x
2 сокращаем на cos x , тогда
Таким образом получим следующее выражение а tg x + b =0 .
Осуществим преобразование:
1.перенесем b в правую часть выражения с противоположным знаком
а tg x =- b
2. Избавимся от множителя а разделив обе части уравнения на а
tg x= - .
Вывод: Уравнение вида а sin m x+ b cos mx = 0 (а синус эм икс плюс бэ косинус эм икс равно нулю) тоже называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени. Чтобы решить его, делят обе части на cos mx .
ПРИМЕР 1. Решить уравнение 7 sin - 5 cos = 0 (семь синус икс на два минус пять косинус икс на два равно нулю)
Решение. Разделим обе части уравнения почленно на cos, получим
1. = 7 tg (так как соотношение синуса к косинусу - это тангенс, то семь синус икс на два деленное на косинус икс на два, равно 7 тангенс икс на два)
2. -5 = -5 (при сокращении cos)
Таки образом получили уравнение
7tg - 5 = 0, Преобразуем выражение, перенесем минус пять в правую часть, изменив знак.
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t=, a =. А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет иметь вид:
Arctg + πn, найдем х
х=2 arctg + 2πn.
Ответ: х=2 arctg + 2πn.
Перейдем к однородному тригонометрическому уравнению второй степени
а sin 2 x+b sin x cos x + с cos 2 x= 0.
Рассмотрим несколько случаев.
I. Если а=0 , то уравнение примет вид b sin x cos x +с cos 2 x = 0.
При решении э то уравнения используем метод разложения на множители. Вынесем cos x за скобку и получим: cos x (b sin x +с cos x )= 0 . Откуда cos x = 0 или
b sin x + с cos x= 0. А эти уравнения мы уже умеем решать.
Разделим обе части уравнения почленно на cosх, получим
1 (так как соотношение синуса к косинусу - это тангенс).
Таким образом получаем уравнение: b tg х+с=0
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= х, a =. А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg a + πn, то решение нашего уравнения будет:
х = arctg + πn, .
II. Если а≠0 , то обе части уравнения почленно разделим на cos 2 x .
(Рассуждая аналогично, как и в случае с однородным тригонометрическим уравнением первой степени, косинус икс не может обратится в ноль).
III. Если с=0 , то уравнение примет вид а sin 2 x + b sin x cos x = 0. Это уравнение решается методом разложения на множители (вынесем sin x за скобку).
Значит, при решении уравнения а sin 2 x + b sin x cos x +с cos 2 x = 0 можно действовать по алгоритму:
ПРИМЕР 2. Решить уравнение sinxcosx - cos 2 x= 0 (синус икс, умноженный на косинус икс минус корень из трех, умноженный на косинус квадрат икс равно нулю).
Решение. Разложим на множители (вынесем за скобку cosx). Получим
cos x(sin x - cos x)= 0, т.е. cos x=0 илиsin x - cos x= 0.
Ответ: х =+ πn, х= + πn.
ПРИМЕР 3. Решить уравнение 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (три синус квадрат двух икс минус удвоенное произведение синуса двух икс на косинус двух икс плюс три косинус квадрат двух икс) и найти его корни, принадлежащие промежутку (- π; π).
Решение. Это уравнение не однородное, поэтому проведем преобразования. Число 2, содержащееся в правой части уравнения, заменим произведением 2·1
Так как по основному тригонометрическому тождеству sin 2 x + cos 2 x =1, то
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = раскрыв скобки получим: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x
Значит уравнение 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 примет вид:
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.
3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,
sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.
Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Применим способ почленного деления на cos 2 2x:
tg 2 2x - 2tg 2x + 1 = 0.
Введем новую переменную z= tg2х.
Имеем z 2 - 2 z + 1 = 0. Это квадратное уравнение. Заметив в левой части формулу сокращенного умножения - квадрат разности (), получим (z - 1) 2 = 0, т.е. z = 1. Вернемся к обратной замене:
Мы привели уравнение к виду tg t = a, где t= 2х, a =1 . А так как данное уравнение имеет решение для любого значения а и эти решения имеют вид
х = arctg x a + πn, то решение нашего уравнения будет:
2х= arctg1 + πn,
х= + , (икс равно сумме пи на восемь и пи эн на два).
Нам осталось найти такие значения х, которые содержатся в интервале
(- π; π), т.е. удовлетворяют двойному неравенству - π х π. Так как
х= + , то - π + π. Разделим все части этого неравенства на π и умножим на 8, получим
перенесем единицу в право и в лево, поменяв знак на минус один
разделим на четыре получим,
для удобства в дробях выделим целые части
- Этому неравенству удовлетворяют следующие целочисленные n: -2, -1, 0, 1 «Величие человека в его способности мыслить».
Цели урока:
1) Обучающие
– познакомить учащихся с однородными уравнениями, рассмотреть методы их решения, способствовать формированию навыков решения ранее изученных видов тригонометрических уравнений. 2) Развивающие
– развивать творческую активность учащихся, их познавательную деятельность, логическое мышление, память, умение работать в проблемной ситуации, добиваться умения правильно, последовательно, рационально излагать свои мысли, расширить кругозор учащихся, повышать уровень их математической культуры. 3) Воспитательные
– воспитывать стремление к самосовершенствованию, трудолюбие, формировать умение грамотно и аккуратно выполнять математические записи, воспитывать активность, содействовать побуждению интереса к математике. Тип урока:
комбинированный. Оборудование:
Ход урока
1. Организационный этап (2 минуты)
Взаимное приветствие; проверка подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид); организация внимания. Учитель сообщает учащимся тему урока, цели (слайд 2)
и поясняет, что во время урока будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах. 2. Повторение теоретического материала (15 минут)
Задания на перфокартах
(6 человек).
Время работы по перфокартам – 10 мин (Приложение 2)
Решив задания, учащиеся узнают, где применяются тригонометрические вычисления. Получаются такие ответы: триангуляция (техника, позволяющая измерять расстояния до недалеких звезд в астрономии), акустика, УЗИ, томография, геодезия, криптография. (слайд 5)
Фронтальный опрос.
Игра «Отгадайте зашифрованное слово»
Когда-то Блез Паскаль сказал, что математика – наука настолько серьёзная, что нельзя упускать случая, сделать её немного более занимательной. Поэтому я предлагаю поиграть. Решив примеры, определите последовательность цифр, по которой составлено зашифрованное слово. По латыни это слово означает «синус». (слайд 3)
2) arc tg (-√3) 4) tg (arc cos (1/2)) 5) tg (arc ctg √3) Ответ: «Изгиб»
Игра «Рассеянный математик
» На экран проектируются задания для устной работы: Проверьте правильность решения уравнений.
(правильный ответ появляется на слайде после ответа учащегося). (слайд 4)
Ответы с ошибками
Правильные ответы
х = ±π/6
+2πn х = ±π/3
+2πn х = π/3
+πn х = (-1)
nπ/3
+πn tg x = π/4
х = 1
+πn tg x =1, х = π/4+πn х = ±π/6+π
n
х = ±π/6
+2π
n
х = (-1)n arcsin1/3+ 2πn
х = (-1)n arcsin1/3+ πn
х = ±π/6
+2πn х = ±5π/6
+2πn cos x = π/3
х = ±1/2
+2πn cos x = 1/2, х = ±π/3
+2πn Проверка домашнего задания.
Преподаватель установливает правильность и осознанность выполнения домашнего задания всеми учащимися; выявляет пробелы в знаниях; совершенствует знания, умения и навыки учащихся в области решения простейших тригонометрических уравнений. 1 уравнение.
Учащийся комментирует решение уравнения, строки которого появляются на слайде в порядке следования комментария). (слайд 6)
√3tg2x = 1;
tg2x =1/√3
;
2х= arctg 1/√3 +πn, n
∈Z.
2х= π/6 +πn, n
∈Z.
х= π/12 +
π/2
n,
n
∈Z
.
2 уравнение
.
Решение з
аписывается учащимся на доске. 2 sin 2 x + 3 cosx = 0. 3. Актуализация новых знаний (3 минуты)
Учащиеся по просьбе учителя вспоминают способы решения тригонометрических уравнений. Они выбирают те уравнения, которые уже умеют решать, называют способ решения уравнения и получившийся результат.
Ответы появляются на слайде. (слайд 7)
. Введение новой переменной:
№1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0. Пусть sinx = t, тогда: 2t 2 – 7t + 3 = 0. Разложение на множители:
№2.
3sinx cos4x – cos4x = 0; сos4x(3sinx – 1) = 0; cos4x = 0 или 3 sinx – 1 = 0; … №3. 2 sinx – 3 cosx = 0, №4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0. Преподаватель:
Последние два вида уравнений вы решать еще не умеете. Оба они одного вида. Их нельзя свести к уравнению относительно функций sinx или cosx. Называются однородными тригонометрическими уравнениями.
Но только первое – однородное уравнение первой степени, а второе – однородное уравнение второй степени. Сегодня на уроке предстоит познакомиться с такими уравнениями и научиться их решать. 4. Объяснение нового материала (25 минут)
Преподаватель дает учащимся определения однородных тригонометрических уравнений, знакомит со способами их решения. Определение.
Уравнение вида a sinx + b cosx =0, где a ≠ 0, b ≠ 0 называется однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
(слайд 8)
Примером такого уравнения является уравнение №3. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его. а sinx + b cosx = 0. Если cosx = 0, то sinx = 0. – Может ли получиться такая ситуация? – Нет. Получили противоречие основному тригонометрическому тождеству. Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cosx:
а · tgx + b = 0
tgx = –b / а
– простейшее тригонометрическое уравнение. Вывод:
Однородные тригонометрические уравнения первой степени решаются делением обеих частей уравнения на cosx (sinx). Например:
2 sinx – 3 cosx = 0, Т.к. cosx ≠ 0, то tgx = 3/2;
х = arctg (3/2) +πn, n ∈Z. Определение.
Уравнение вида a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0 , где a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 называется тригонометрическим уравнением второй степени.
(слайд 8)
Примером такого уравнения является уравнение №4. Выпишем общий вид уравнения и проанализируем его. a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0. Если cosx = 0, то sinx = 0. Опять получили противоречие основному тригонометрическому тождеству. Значит, cosx ≠ 0. Выполним почленное деление на cos 2 x: а tg 2 x + b tgx + c = 0 – уравнение, сводящееся к квадратному. Вывод: О
днородные тригонометрические уравнения второй степени решаются делением обеих частей уравнения на cos 2 x (sin 2 x). Например:
3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0. Т.к. cos 2 x ≠ 0, то 3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Предложить ученику выйти к доске и дорешать уравнение самостоятельно). Замена: tgx = у. 3у 2 – 4 у + 1 = 0 D = 16 – 12 = 4 y 1 = 1 или y 2 = 1/3 tgx = 1 или tgx = 1/3 x = arctg (1/3) + πn, n ∈Z. х = arctg1 + πn, n ∈Z. x = π/4 + πn, n ∈Z. 5. Этап проверки понимания учащимися нового материала (1 мин.)
Выберите лишнее уравнение:
sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2; √3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0; 4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0. (слайд 9)
6. Закрепление нового материала (24 мин).
Учащиеся вместе с отвечающими у доски решают уравнения на новый материал. Задания написаны на слайде в виде таблицы. При решении уравнения открывается соответствующая часть картинки на слайде. В результате выполнения 4-х уравнений перед учащимися открывается портрет математика, оказавшего значительное влияние на развитие тригонометрии. (ученики узнают портрет Франсуа Виета – великого математика, внесшего большой вклад в тригонометрию, открывшего свойство корней приведенного квадратного уравнения и занимавшегося криптографией). (слайд 10)
1)
√3sinx + cosx = 0, Т.к. cosx ≠ 0, то √3tgx + 1 = 0; tgx = –1/√3; х = arctg (–1/√3) + πn, n ∈Z. х = –π/6 + πn, n ∈Z. 2)
sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0. Т.к. cos 2 x ≠ 0, то tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0 Замена:
tgx = у. у 2 – 10 у + 21 = 0 у 1 = 7 или у 2 = 3 tgx = 7 или tgx = 3 х = arctg7 + πn, n ∈Z х = arctg3 + πn, n ∈Z 3)
sin 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0. Т.к. cos 2 2x ≠ 0, то 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0 Замена:
tg2x = у. 3у 2 – 6у + 5 = 0 D = 36 – 20 = 16 у 1 = 5 или у 2 = 1 tg2x = 5 или tg2x = 1 2х = arctg5 + πn, n ∈Z х = 1/2 arctg5 + π/2 n, n ∈Z
2х = arctg1 + πn, n ∈Z х = π/8 + π/2 n, n ∈Z 4)
6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1. 6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1. 6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0. 5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0. Т.к. cos 2 x ≠0, то 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0 Замена:
tg x = у. 5у 2 + 4у – 1 = 0 D = 16 + 20 = 36 у 1 = 1/5 или у 2 = –1 tg x = 1/5 или tg x = –1 х = arctg1/5 + πn, n ∈Z х = arctg(–1) + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z Дополнительно (на карточке):
Решить уравнение и, выбрав один вариант из четырех предложенных, отгадать имя математика, который вывел формулы приведения: 2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0. Варианты ответов:
х = arctg2 + 2πn, n ∈Z х = –π/2 + πn, n ∈Z – П.Чебышев х = arctg 12,5 + 2πn, n ∈Z х = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид
х = arctg 5 + πn, n ∈Z х = –π/3 + πn, n ∈Z – Софья Ковалевская
х = arctg2,5 + πn, n ∈Z х = –π/4 + πn, n ∈Z – Леонард Эйлер Правильный ответ: Леонард Эйлер.
7. Дифференцированная самостоятельная работа (8 мин.)
Великий математик и философ более 2500 лет назад подсказал способ развития мыслительных способностей. «Мышление начинается с удивления» – сказал он. В правильности этих слов мы сегодня неоднократно убеждались. Выполнив самостоятельную работу по 2-м вариантам, вы сможете показать, как усвоили материал и узнать имя этого математика. Для самостоятельной работы используйте раздаточный материал, который находится у вас на столах. Вы можете сами выбрать одно из трех предложенных уравнений. Но помните, что решив уравнение, соответствующее желтому цвету, вы сможете получить только «3»,решив уравнение, соответствующее зеленому цвету – «4», красному цвету – «5». (Приложение 3)
Какой бы уровень сложности не выбрали учащиеся, после правильного решения уравнения у первого варианта получается слово «АРИСТ», у второго – «ОТЕЛЬ». На слайде получается слово: «АРИСТ-ОТЕЛЬ». (слайд 11)
Листочки с самостоятельной работой сдаются на проверку. (Приложение 4)
8. Запись домашнего задания (1 мин)
Д/з: §7.17. Составить и решить 2 однородных уравнения первой степени и 1 однородное уравнение второй степени (используя для составления теорему Виета). (слайд 12)
9. Подведение итогов урока, выставление оценок (2 минуты)
Учитель еще раз обращает внимание, на те типы уравнений и те теоретические факты, которые вспоминали на уроке, говорит о необходимости выучить их. Учащиеся отвечают на вопросы: Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся, выставляет отметки. Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем: Как мы используем вашу персональную информацию: Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения: Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Блез Паскаль.
Сбор и использование персональной информации
Раскрытие информации третьим лицам
Защита персональной информации
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании